线性代数学习笔记(九):埃尔米特矩阵


特征值

6.4 埃尔米特矩阵

在前面的章节中我们一直关注的都是实矩阵, 在本节中我们将讨论关于复矩阵的一些内容, 并关注类似于对称以及正交的矩阵

复内积

​ 若为一复标量, 则的长度为


中的向量的长度为


为了保持和前面记号的相似性, 我们可以记


从而有


定义为一复数域上的向量空间. 上的内积(inner product)是一个关联中的任意一对向量的复数, 它满足如下条件:

  1. , 等号成立的充要条件为.
  2. 中所有的成立.
  3. .

在定义了内积以后, 实数域中很多定理可以相应的推广到复数域中. 回顾定理5.5.2, 若为一实内积空间中的一组规范正交基, 且




相应的, 若是在复内积空间中, 若为一组规范正交基, 且




为了计算上面的, 我们可以定义上的一个内积为, 对中的所有的


这个定义实际上是完全仿照前面实数域上的定义来的, 在实数域上我们有, 在复数域中我们前面有, 因此可以很自然的推广出复数域下的内积. 经过验证, 前面提到的内积的确满足内积的定义, 因此成立. 因为实数域和复数域内积定义的相似性, 所以很多计算都是相似的, 下面给出了一些对应的计算

埃尔米特矩阵

为一的矩阵, 且对每一, . 我们可以把写为


其中均为实的. 定义矩阵的共轭为


为一个将的每一个元素取共轭得到的矩阵. 的转置记为. 所有的元素均为复数的矩阵构成的向量空间记为. 若的矩阵, 且, 则容易验证下列法则

  1. .
  2. .

定义 若一个矩阵满足, 则它称为埃尔米特矩阵(Hermitian).

埃尔米特矩阵有很多很好的性质, 下面我们将依次通过一些定理来介绍这些性质

定理6.4.1 埃尔米特矩阵的特征值均为实的. 此外, 属于不同特征值的特征向量是正交的

这个定理的证明基本是常规思路, 如下

证明为一埃尔米特矩阵, 为其一个特征值, 为这个特征值对应的特征向量, 从而我们有


两边同时取共轭转置, 有


对于埃尔米特矩阵有, 从而有


两边同时乘以, 有




从而


所以是实数.

另外取为矩阵的两个不相同的特征值, 其对应的特征向量分别为. 于是我们有


对上面第二个式子取共轭转置有


也即


从而


也就是


从而


因为, 所以, 从而.

从而得证

定义 若一个矩阵的列向量构成了中的一个规范正交集, 则称其为酉矩阵(unitary matrix)

通过上面的定义不难发现为酉矩阵的充要条件是. 若为酉矩阵, 因为其列向量是规范正交的, 因此其秩 必为. 从而酉矩阵可逆, 从而可得


一个实的酉矩阵就是一个正交矩阵.

推论 6.4.2 若埃尔米特矩阵的特征值互不相同, 则存在一个酉矩阵对角化

证明 对每一个的特征值, 令为属于的特征向量. 令. 则对每一, 为属于的单位特征向量. 根据定理6.4.1, 中的规范正交集. 令为对每一, 其第个列向量为的矩阵; 则是酉矩阵, 且对角化.

前面这个推论有一个很强的条件就是的特征值互不相同. 事实上, 当的特征值不全相异的时候推论6.4.2也是成立的. 为了证明它, 我们首先来证明下面的定理

定理 6.4.3(舒尔定理) 对每一个的矩阵, 存在一个酉矩阵, 使得为上三角的.

这个定理的证明稍微有点复杂, 利用数学归纳法可证

证明时, 结论是显然的. 假设对的矩阵该结论是成立的, 并令为一矩阵. 令的特征值, 并令为属于的单位特征向量. 利用格拉姆-施密特过程, 构造, 使得的一组规范正交基. 令. 则由归纳法, 为酉矩阵. 的第一列将为. 而


因此为一形如


的矩阵, 其中为一个的矩阵. 由归纳假设, 存在一个的酉矩阵, 使得, 其中是三角形的. 令




. 矩阵为酉矩阵, 因为


从而. 证毕

前面提到的因式分解通常称为舒尔分解(Schur decomposition). 当为埃尔米特矩阵的时候矩阵将为对角的.

现在我们就可以证明前面提到的结论了.

定理 6.4.4(谱定理) 若为埃尔米特矩阵, 则存在一个酉矩阵对角化.

证明 根据定理6.4.3, 存在一个酉矩阵, 使得, 其中为上三角的. 而且


也就是说, 为埃尔米特矩阵, 又因为是上三角的, 所以必为对角的.

实舒尔分解

前面我们讨论舒尔分解的时候我们是对复数进行讨论的. 在实数域下也有类似的结论. 若为一矩阵, 可以有, 其中为一正交矩阵, 为形如


的实矩阵, 其中或者矩阵. 每个分块对应于的一对复共轭特征值. 矩阵指的是的实舒尔型. 下面我们将一步步来证明这个结论.

定义的子空间在矩阵下保持不变, 若对每个, 有.

引理 6.4.5为一实矩阵, 其特征值为(其中为实数且), 并设(其中中的向量)是属于的特征向量. 若, 则下保持不变.

证明 由于为复数, 因此必非零. 又因为是实的, 也为的特征值且是属于的特征向量. 若存在一个标量满足, 则将均为的倍数且不可能是无关的. 然而属于不同的特征值, 因此他们必定线性无关. 因此不会是的倍数, 因此的维数为2.

​ 为证明的不变性, 注意到由于, 等号两边实部和虚部必须一致, 因此


于是可得


中的任意一向量, 则


所以中, 因此下保持不变.

利用这个引理我们就可以证明实矩阵的舒尔定理了. 证明思路和前面复矩阵的证明思路是相似的, 仍然利用归纳法进行.

定理 6.4.6(实舒尔分解定理) 若是一实矩阵, 则可以分解为乘积, 其中是一正交矩阵, 是前面提到的形式的矩阵.

证明时, 若的特征值是实的, 可以取为属于第一个特征值的单位特征向量, 为与正交的任一单位向量. 若令, 则是一正交矩阵. 若令, 则的第一列为


于是是上三角的, 且. 若的特征值是复的, 则可简单地令. 于是每个实矩阵有一实舒尔分解.

​ 现在令为一矩阵, 其中, 并假定对, 每个实矩阵有一个形如的舒尔分解.令的一个特征值. 若为实的, 令为属于的单位特征向量, 并选取是一正交矩阵, 如舒尔定理的证明一样, 可得的第一列为. 若是复的, 令(其中为实数)为属于的特征向量, 并令. 由引理6.4.5, 下是不变的. 令的一组规范正交基. 选区使得是一正交矩阵. 因为下保持不变, 可得


其中为标量, 因此的前两列将为


因此一般来说, 将为分块形式的矩阵


其中

​ 若为实的, 则矩阵

​ 若为复的, 则矩阵且矩阵.

在每一种情况, 可以对应用归纳假设, 得到舒尔分解. 假设舒尔型个对角分块. 若令


均为正交矩阵. 若令, 我们将得到一个舒尔型中的矩阵, 由此可得将有舒尔分解.

从而证毕.

​ 在的所有特征值均为实的情况下, 实舒尔型将为上三角矩阵. 在为实对称矩阵的情况下, 由于的特征值均为实的, 因此必为上三角形的; 然而在这种情况下, 必定也为对称的, 因此我们实际上得到了的一个对角化. 这样, 对实对称矩阵我们可以由下面的谱定理

推论6.4.7(谱定理——实对称矩阵) 若是一实对称矩阵, 则存在一个正交矩阵对角化, 即, 其中是对角的.

正规矩阵

前面我们提到埃尔米特矩阵可以有完备的规范正交向量集, 实际上还存在其他的非埃尔米特矩阵也有这个性质, 例如反对称矩阵和反埃尔米特矩阵. 一般的, 若为任何具有完备的规范正交特征向量集的矩阵, 则, 其中是酉矩阵, 且为一对角矩阵(其对角元素可能为复数). 一般地, , 因此


然而






可得


定义 一个矩阵若满足, 则称为正规矩阵(normal matrix)

前面已经说明了若一个矩阵具有完备的规范正交向量集, 则它是正规矩阵, 实际上这个命题的逆也是成立的.

定理 6.4.8 一个矩阵是正规矩阵, 当且仅当有一个完备的规范正交的特征向量集.

证明 根据前面的说明, 现在我们只需要证明一个正规矩阵有一个完备的规范正交的特征向量集即可. 由定理6.4.3, 存在一个酉矩阵和一个三角形矩阵, 使得. 从而有


由于是正规矩阵, 有, 从而, 比较的对角元素, 有


由此可得, 当时, . 因此矩阵对角化, 且的列向量为的特征向量. 从而具有一个完备的规范正交特征向量集. 得证.


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