分类:线性代数

线性代数学习笔记系列:写在后面

至此我的线性代数学习笔记系列也终于算是完结了. 毕竟我还是一个喜欢唠嗑的人, 因此写完了这么一个系列以后不来篇文章唠唠嗑实在不是我的风格, 于是也就有了这篇文章. ​ 这个系列我是从去年暑假过后开始开始写的, 不过复习线代的内容从去年暑假开始的时候就开始进行了. 由于去年的一些这样那样的原因并没......

线性代数学习笔记(十一):二次型、正定矩阵以及非负矩阵

特征值 6.6 二次型 前面我们已经了解到线性代数在解决线性方程组方面的重要的作用, 在本节中我们将进一步展示线性代数在研究二次方程上的作用。另外本节中因为主要是研究二次方程相关的内容,因此我们主要通过例子展开本文。 定义 一个二次方程(quadratic equation)为两个变量x和y的方程 ax^2 + 2bxy + ......

线性代数学习笔记(十):奇异值分解

特征值 6.5 奇异值分解 前面我们已经了解到, 满秩的矩阵具有一些很好的性质. 因此在计算中我们经常需要判断一个矩阵是否是满秩的. 理论上讲, 我们可以利用高斯消元法来看非零行的个数来确定矩阵的秩. 但是由于舍入误差的存在, 这种方法实际上并不适用. 一般情况下更可行的解决方案是判断矩阵和一个亏秩矩阵的接......

线性代数学习笔记(九):埃尔米特矩阵

特征值 6.4 埃尔米特矩阵 在前面的章节中我们一直关注的都是实矩阵, 在本节中我们将讨论关于复矩阵的一些内容, 并关注类似于对称以及正交的矩阵 复内积 ​ 若\alpha = a + b i为一复标量, 则\alpha的长度为 |\alpha| = \sqrt{\overline{\alpha}\alpha} = \sqrt{a^2 + b^2} \boldsymbol C^n中的向量\b......

线性代数学习笔记(八):对角化

特征值 6.3 对角化 前面我们曾经提到过如果可以把矩阵分解为XDX^{-1}的形式, 对矩阵进行幂运算就会变得非常简单, 同时这个形式实际上也是得到了与一个矩阵相似的对角矩阵, 从而可以在很多情况下简化运算. 在本节中我们将介绍如何进行这种分解. 这种分解叫做对角化 定理6.3.1 若\lambda_1, \lambda_2, \cdots,......

线性代数学习笔记(七):线性微分方程组

特征值 6.2 线性微分方程组 前面我们介绍了特征值和特征向量的基础概念并由此引出了一些性质, 但是这个概念说实话定义的有点莫名其妙而且我们并不知道这个概念的用途, 在本节中我们将看到特征值在线性微分方程组中的作用. ​ 首先考虑一个普遍形式的一阶线形微分方程组 \begin{split} y_1^\prime &= a_......

线性代数学习笔记(六):特征值和特征向量

特征值 在很多线性代数应用的问题中我们都会遇到形如A \boldsymbol x = \lambda \boldsymbol x这种形式的式子, 如果这个式子有非零解\boldsymbol x, 则称\lambda为A的特征值(eigenvalue), 且x称为属于\lambda的特征向量(eigenvector). 在实际中特征值和特征向量有一些非常重要的性质和应用, 在本章中我们将逐步......

线性代数学习笔记(五):正交性

正交性 5.1 \boldsymbol R^n中的标量积 定义 若V为定义了标量积的向量空间, 且V中的两个向量的标量积为零, 则称他们正交(orthogonal). 定义 两个\boldsymbol R^n中的向量可以看作是n \times 1的矩阵, 我们可以构造矩阵乘积\boldsymbol x ^T \boldsymbol y, 这个乘积得到的结果是一个1 \times 1的矩阵, 也就是一......

线性代数学习笔记(四):线性变换

4.1 定义和例子 定义 一个将向量空间V映射到向量空间W的映射L, 如果对所有\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2 \in V及所有标量\alpha和\beta,均有: L(\alpha\boldsymbol v_1+ \beta \boldsymbol v_2) = \alpha L(\boldsymbol v_1) + \beta L(\boldsymbol v_2) 则称其为线性变换(linear transformation). 记号 一个从向......

线性代数学习笔记(三):向量空间

3.1 定义和例子 1. 向量空间中的公理 定义 令V为一定义了加法和标量乘法运算的集合. 这意味着, 对V中的每一对元素 {\boldsymbol{x}} 和 {\boldsymbol{y}} , 可以唯一对应于V中的一个元素 {\boldsymbol{x}} + {\boldsymbol{y}} , 且对每一个V中的元素 {\boldsymbol{x}}和每一个标量\alpha, 可以唯一对应于V中的元素\al......