概率论基础学习笔记(二):概率论公理

定义 对于一个试验其可能发生的所有结果构成的集合称为试验的 样本空间

事件的基本运算

  1. 事件 称为事件 的并, 表示事件 中所有结果的总和.
  2. 事件 称为事件 的交, 表示事件 中的公共元素的总和.(也记作 )
  3. 事件 称为事件 的补, 它表示包含在样本空间中但不包含在 中的所有结果构成的事件.

并交补的运算法则 (这些法则和集合的运算法则完全一致)

法则
交换律
结合律
分配率
德摩根律

PS: 德摩根律可以先证明两个的情况, 然后利用数学归纳法证明对任意的 成立

概率的三个公理

  1. 公理一

  2. 公理二

  3. 公理三 对任一列互不相容的事件 (即如果 , 则 ), 有

 

我们把满足以上三条公理的 称为事件 的概率.

PS: 对于公理三, 如果令所有的 为空事件即可导出

几个简单的命题

  1. 命题2.1
  1. 命题2.2 如果 , 那么
  2. 命题2.3

证明 注意到

于是有 $$ P(E\bigcup F) = P(E \bigcup E^cF) = P(E) + P(E^cF)

把上式带入 的表达式, 从而有

从而证毕.(事实上该命题也可以通过韦恩图来证明)

  1. 命题2.4

    其中, 表示对一切下标集合 所对应的值求和, 和项一共包含 项.

    注释

    1. 这个命题的意思就是 个事件并的概率等于这些事件独自发生的概率之和减去两个事件同时发生的概率之和, 再加上三个事件同时发生的概率之和 ··· ···
    2. 这个公式可以有一个直观的解释. 对于样本空间中的一个结果无非有两类情况, 一类是这个结果不在 里, 那么等式两边就都不会出现这个事件, 上面的式子中是显然的. 另一种情况就是这个结果在 中. 现在假设这个结果包含在其中的 里面, 那么其在等式左边只能包含一次, 而对于等式右边, 第一项中一共包含了 次, 第二项中包含了 次(这是因为第二项实际上是所有的 两两乘积的和, 然后第二项中包含的这个结果的次数就是相当于从 个包含该结果的 种选出 个来的选择方法数目), 以此类推, 第 项种包含的这个结果的次数就是 . 从而在等式右边, 这个结果被计算了

    次. 因此对于 , 我们如果可以证明

    就相当于说明了这个定理.因为 , 从而上式等价于

    这实际上是二项式定理的结果, 因为

    从而我们就解释了这个定理

    1. 实际上这个定理通过利用命题2.3然后利用数学归纳法也可以求解
    2. 在命题2.4中的等式的右边中, 如果只取第一项, 则得到对左边概率的一个上界, 如果取前两项则得到一个下界, 如果取前三项, 则又得到一个上界, 依此类推.也就是说对于事件 , 有

    上面的式子在课本中有一个证明, 这里就略去不表了, 有兴趣的话可以查阅课本

等可能结果的样本空间

如果一个样本空间中的所有的结果发生的可能性是相同的, 那么对于任何事件 , 将有

概率: 确信程度的度量

对于一个事件 的概率 可以理解为长期相对频率或者确信程度的度量.