线性代数
zmy
2017-09-10 16:19:9
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1.1 线形方程组 相容/不相容 :如果线性方程组无解,那么就称该线性方程组为不相容的,繁殖,若有解,则成为改线形方程组是相容的 解集 :线性方程组的所有解的集合 等价线性方程组 :若两个含有相同变量的线性方程组具有相同的解集,则称他们是等价的 严格三角形的线性方程组 :若 n \times n 方程组中第 k 个方程的 k-1 个变量的系数均为0,且 x_k(k=1, \cdots ,n) 的系数不为 0 ,则称该方程组为严格三角形的 初等行运算 :下面三种运算被称为初等行运算: 交换两行 以非零实数乘以某一行 将某行替换 ... [阅读全文]

zmy
2017-09-15 21:51:38
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前言 每一个方形矩阵都可以和一个称为矩阵行列式的实数来对应,这个数值将告诉我们矩阵是否是奇异的。在本章中,将先给出行列式的定义,然后学习它的性质以及一种求解行列式的消元法,然后我们将会看到矩阵行列式在求解线性方程组的时候的一个应用。最后,我们还会了解到一种利用矩阵行列式求解矩阵的逆的方法 2.1 矩阵的行列式 尽管这看起来很繁琐,但是为了便于理解,我还是打算在这里从判断矩阵是否为奇异的开始来一步一步引出行列式的定义。 对于每一个 n \times n 的矩阵 A ,我们来考虑一下如何利用这个矩阵计算出一个数值(在这里我们约定为 det(A) )判断这个矩阵 ... [阅读全文]

zmy
2017-11-27 17:38:4
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3.1 定义和例子 1. 向量空间中的公理 定义 令 V 为一定义了加法和标量乘法运算的集合. 这意味着, 对 V 中的每一对元素 {\boldsymbol{x}} 和 {\boldsymbol{y}} , 可以唯一对应于 V 中的一个元素 {\boldsymbol{x}} + {\boldsymbol{y}} , 且对每一个 V 中的元素 {\boldsymbol{x}} 和每一个标量 \alpha , 可以唯一对应于 V 中的元素 \alpha {\boldsymbol{x}} . 如果集合 V 连同其上的加法和标量乘法满足下面 ... [阅读全文]

zmy
2018-02-01 15:31:21
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4.1 定义和例子 定义 一个将向量空间 V 映射到向量空间 W 的映射 L , 如果对所有 \boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2 \in V 及所有标量 \alpha 和 \beta ,均有: L(\alpha\boldsymbol v_1+ \beta \boldsymbol v_2) = \alpha L(\boldsymbol v_1) + \beta L(\boldsymbol v_2) 则称其为 线性变换 (linear transforma ... [阅读全文]

zmy
2018-02-10 19:57:18
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5.1 \boldsymbol R^n 中的标量积 定义 若 V 为定义了标量积的向量空间, 且 V 中的两个向量的标量积为零, 则称他们 正交 (orthogonal). 定义 两个 \boldsymbol R^n 中的向量可以看作是 n \times 1 的矩阵, 我们可以构造矩阵乘积 \boldsymbol x ^T \boldsymbol y , 这个乘积得到的结果是一个 1 \times 1 的矩阵, 也就是一个实数. 这个乘积 \boldsymbol x^T \boldsymbol y 称为 \boldsym ... [阅读全文]

zmy
2018-03-04 19:4:45
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在很多线性代数应用的问题中我们都会遇到形如 A \boldsymbol x = \lambda \boldsymbol x 这种形式的式子, 如果这个式子有非零解 \boldsymbol x , 则称 \lambda 为 A 的特征值(eigenvalue), 且 x 称为属于 \lambda 的特征向量(eigenvector). 在实际中特征值和特征向量有一些非常重要的性质和应用, 在本章中我们将逐步了解这些概念并看到他们的应用 6.1 特征值和特征向量 定义 令 A 为一 n \times n 矩阵 A , 且可以找到一个非零向量 ... [阅读全文]

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2018-03-06 21:44:24
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6.2 线性微分方程组 前面我们介绍了特征值和特征向量的基础概念并由此引出了一些性质, 但是这个概念说实话定义的有点莫名其妙而且我们并不知道这个概念的用途, 在本节中我们将看到特征值在线性微分方程组中的作用. 首先考虑一个普遍形式的一阶线形微分方程组 \begin{split} y_1^\prime &= a_{11}y_1 + a_{12}y_2 + \cdots + a_{1n}y_n \\ y_2^\prime & ... [阅读全文]

zmy
2018-03-09 20:50:23
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6.3 对角化 前面我们曾经提到过如果可以把矩阵分解为 XDX^{-1} 的形式, 对矩阵进行幂运算就会变得非常简单, 同时这个形式实际上也是得到了与一个矩阵相似的对角矩阵, 从而可以在很多情况下简化运算. 在本节中我们将介绍如何进行这种分解. 这种分解叫做 对角化 定理6.3.1 若 \lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k 为一个 n \times n 矩阵 A 的不同特征值, 相应的特征向量为 \boldsymbol x_1, \boldsymbol x_ ... [阅读全文]

zmy
2018-03-14 13:29:4
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6.4 埃尔米特矩阵 在前面的章节中我们一直关注的都是实矩阵, 在本节中我们将讨论关于复矩阵的一些内容, 并关注类似于对称以及正交的矩阵 复内积 若 \alpha = a + b i 为一复标量, 则 \alpha 的长度为 |\alpha| = \sqrt{\overline{\alpha}\alpha} = \sqrt{a^2 + b^2} \boldsymbol C^n 中的向量 \boldsymbol z = (z_1, z_2, \cdots ... [阅读全文]

zmy
2018-03-25 22:35:50
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6.5 奇异值分解 前面我们已经了解到, 满秩的矩阵具有一些很好的性质. 因此在计算中我们经常需要判断一个矩阵是否是满秩的. 理论上讲, 我们可以利用高斯消元法来看非零行的个数来确定矩阵的秩. 但是由于舍入误差的存在, 这种方法实际上并不适用. 一般情况下更可行的解决方案是判断矩阵和一个亏秩矩阵的接近程度. 在本节中我们假设 A 为一 m \times n 矩阵, 其中 m \ge n . 为了确定 A 是如何接近一个较小秩的矩阵, 我们将吧 A 分解为一个乘积 U\Sigma V^T , 其中 U 为一个 m \times m ... [阅读全文]