线性代数学习笔记(八):对角化

特征值 6.3 对角化 前面我们曾经提到过如果可以把矩阵分解为XDX^{-1}的形式, 对矩阵进行幂运算就会变得非常简单, 同时这个形式实际上也是得到了与一个矩阵相似的对角矩阵, 从而可以在很多情况下简化运算. 在本节中我们将介绍如何进行这种分解. 这种分解叫做对角化 定理6.3.1 若\lambda_1, \lambda_2, \cdots,......

线性代数学习笔记(七):线性微分方程组

特征值 6.2 线性微分方程组 前面我们介绍了特征值和特征向量的基础概念并由此引出了一些性质, 但是这个概念说实话定义的有点莫名其妙而且我们并不知道这个概念的用途, 在本节中我们将看到特征值在线性微分方程组中的作用. ​ 首先考虑一个普遍形式的一阶线形微分方程组 \begin{split} y_1^\prime &= a_......

线性代数学习笔记(六):特征值和特征向量

特征值 在很多线性代数应用的问题中我们都会遇到形如A \boldsymbol x = \lambda \boldsymbol x这种形式的式子, 如果这个式子有非零解\boldsymbol x, 则称\lambda为A的特征值(eigenvalue), 且x称为属于\lambda的特征向量(eigenvector). 在实际中特征值和特征向量有一些非常重要的性质和应用, 在本章中我们将逐步......

线性代数学习笔记(五):正交性

正交性 5.1 \boldsymbol R^n中的标量积 定义 若V为定义了标量积的向量空间, 且V中的两个向量的标量积为零, 则称他们正交(orthogonal). 定义 两个\boldsymbol R^n中的向量可以看作是n \times 1的矩阵, 我们可以构造矩阵乘积\boldsymbol x ^T \boldsymbol y, 这个乘积得到的结果是一个1 \times 1的矩阵, 也就是一......

线性代数学习笔记(四):线性变换

4.1 定义和例子 定义 一个将向量空间V映射到向量空间W的映射L, 如果对所有\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2 \in V及所有标量\alpha和\beta,均有: L(\alpha\boldsymbol v_1+ \beta \boldsymbol v_2) = \alpha L(\boldsymbol v_1) + \beta L(\boldsymbol v_2) 则称其为线性变换(linear transformation). 记号 一个从向......

线性代数学习笔记(三):向量空间

3.1 定义和例子 1. 向量空间中的公理 定义 令V为一定义了加法和标量乘法运算的集合. 这意味着, 对V中的每一对元素 {\boldsymbol{x}} 和 {\boldsymbol{y}} , 可以唯一对应于V中的一个元素 {\boldsymbol{x}} + {\boldsymbol{y}} , 且对每一个V中的元素 {\boldsymbol{x}}和每一个标量\alpha, 可以唯一对应于V中的元素\al......

Hermite 插值

1. 引言 在前面的插值的介绍中,我们都是只考虑了函数在插值节点处的值, 并没有考虑变化率也就是导数的情况,实际上,在实际应用中,我们经常会遇到要求导数值的情况,这时候Hermite插值就能满足我们的需求 2. Hermite插值的目标 Hermite插值解决的是如下所述的问题 对于一个给定的f(x), 已知一些节点x_0, x_1, x_......

插值逼近之牛顿插值

1. 引言 前面在介绍插值的时候我们提到了经典的拉格朗日插值,直观方便。但是这种插值方法有个弊端就是每次增加插值节点的时候都要重新计算,而不是能够简单的附加一项上去,这使得在某些需要逐步增加插值点的时候显得不是很方便,为了解决这个问题,我们来看一下牛顿插值。 2. 导出 前面我们提到,n个插值节点最多......

helloworld系列教程(1):Windows 窗口编程

1.关于本系列 以前玩C++的控制台玩了好久,但是总感觉黑窗口控制台能做的东西看起来并不是那么的爽(最直观的永远是图形界面hhhh),然后就自己摸索着搞了一点点窗口以及其他的东西,近期我会一点一点把搞的这些东西所需要的一些基本的知识总结一下。这个系列可以说是入门中的入门,只是解决了“这是啥”的问题,实在是并......

函数逼近之插值逼近:插值基础和拉格朗日插值

1. 引言 在实际的计算中我们可能面临各种各样的复杂的函数,而目前的计算机对这些复杂函数的处理并没有一个单独的指令来计算,在多数情况下我们需要把这些复杂的函数的计算转换成简单的加减乘除或者是其他的基础运算来搞定。在另一些情况下,我们并不能够直接获取到我们计算的函数的具体的解析式,而是仅仅只能通过采......